Analysis [Tenrece Tao] Chapter 4

整数

定义 4.1.1(整数) 一个整数是一个形如的表达式，其中和是自然数。两个整数看作是相等的当且仅当。用代表全体整数的集合。

定义4.1.2 两个整数的和由下式定义:

$$(a-b)+(c-d) :=(a+c)-(b+d)$$

两个整数的积由下式定义:

$$(a-b) \times (c-d) :=(ac+bd)-(ad+bc)$$

定义4.1.4(整数的负运算) 如果是一个整数，我们定义它的负数为整数，记作。特别地，如果是正的自然数，那么它的负数。

定义4.1.10(整数的顺序) 设和是整数。我们说大于或等于，记作或，当且仅当对于某自然数，。我们说严格大于，记作或，当且仅当 且。

比例数

定义4.2.1 一个比例数是一个形如的表达式，其中和是整数,且不为零。 不被认为是比例数。两个比例数和看作是相等的，当且仅当。全体比例数的集合记作。

定义4.2.2 如果和是比例数，
定义它们的和

$$(a//b)+(c//d):=(ad + bc)//(bd)$$

它们的乘积

$$(a//b) \times (c//d) :=(ac)//(bd)$$

以及负运算

$$-(a//b):=(-a)//b$$

定义4.2.6 一个比例数叫作是正的，当且仅当对于某两个正整数和我们有 ，它叫作是负的当且仅当对于某个正的比例数,我们有。

定义4.2.8(比例数的顺序) 设和是比例数。我们说当且仅当是一个正的比例数，说当且仅当是负的比例数。我们写当且仅当或者或者，并类似地定义。

命题4.4.1(整数被比例数间隔开) 设是比例数。那么存在一个整数，使得$n< aa$(即，一个比例数比一切自然数都大这样的事是不可能发生的)。

命题4.4.4 不存在比例数使得
证明
假设有一个比例数，使得 明显地不是零.可以假定是正的，因为如果是负的，那么就可以用来取代(因为)．于是对于某两个正整数，，，从而，我们可把它重写为
把一个自然数叫作偶的,如果对于某自然数成立;把它叫作奇的,如果对于某自然数成立.每个自然数或者是偶的,或者是奇的,但不可二者兼得(为什么?).如果是奇的,那么p2也是奇的(为什么?),这与矛盾.于是p是偶的,即对于某自然数成立.
由于p是正的, k必也是正的.把代入我们得到,于是.
总起来说,我们从一个满足的正整数对出发,得到一个正整数对,它满足.由于,我们有(为什么?).如果重写和,那么我们就从满足方程的一个解过渡到同一方程的一个新的解.这个新的解的的值更小.再三地不断重复这个步骤,并得到同一方程的一系列解，,等等.
这些解的每一个的的值都比前一个小,并且每个解都由正整数组成.但这与无限减小原理相矛盾．这个矛盾表明我们不能有一个比例数使得

另一方面,我们可以得到任意接近的平方根的比例数.
命题4.4.5 对于每个比例数,都存在一个非负的比例数，使得. **证明** 设是比例数.假设不存在非负的比例数满足.这表明,只要不是负的并且,我们必定也有(注意根据命题4.4.4，不会等于). 由于,必有,由它又推出,并且一个简单的归纳法表明,对于每个自然数,都成立 但是,根据命题4.4.1,我们可以找到一个整数使得,它蕴含着,进而蕴含,这与对于一切自然数都有的断言相矛盾.这个矛盾完成了证明.